線形代数

1. 数学記号の使い方

   あまり手間はかけたくなので、ここのページでは下表のような
   独自の記号表現をしています。
   

   No.	名称	一般的な数学記号	このページでの数学記号
   1	Σ	n Σa(i) i=1	Σ(i=1,n) a(i)

2. 行列

   1. 【定義】m×n個の実数を長方形に並べた
      
      を
      
      m×n行列、　(m,n)型行列、m行n列の行列
      
      または単に
      
      行列
      
      と言う。
      
      
      
      上からi番目の行を第i行、左からj番目の列を第j列と呼ぶ。
      行列の各値を成分といい、第i列かつ第j列の成分を(i, j)成分と呼び、
      aijと書く。
      行列は、A、B、C・・・や(aij)、(b ij)、(c ij)と表す。
      
      
      
   2. 【定義】行列の相等
      二つの行列A=(aij)、B=(bij)が等しいとは
      
      • (1)AとBが同じ型の行列であること、すなわち
        Aの行の数=Bの行の数、Aの列の数=Bの列の数。
        
      • (2)すべてのi,jに対し、
        Aの(i,j)成分aij = Bの(i,j)成分bij
        
        のとき、しかもそのときに限っていい、A = Bで表す。
        
      
      
   3. 【定義】行列の和、スカラー倍
      二つのm×n型行列A=(aij)、B=(bij)に対し、
      和 A+B、k倍 kAをA+Bの(i,j)成分=aij + bij、
      kAの(i,j)成分=kaijであるm×n型行列と定義する。
      A+B = (aij)+(bij) = (aij + bij)
      kA = k(aij) = (kaij)
      
      
      
      
   4. A、B、Cを全て同じ型の行列とするとき、次の式が成立する。
      
      • (i)和に関する性質
        A + B = B + A　　　　　　　　　　(交換法則)
        ( A + B ) + C = A + ( B + C )　　(結合法則)
        
      • (ii)スカラー倍に関する性質
        ( a + b ) A = aA + bA　　　　(分配法則)
        a ( A + B ) = aA + aB　　　　(分配法則)
        ( ab )A = a ( bA )　　　　　 (結合法則)
        
      
      
   5. 【定義】ゼロ行列
      成分がすべて0であるm×n型の行列を、
      (m,n)型ゼロ行列または単にゼロ行列
      と言う。
      
      
      
      
   6. (m,n)型行列Aと (m,n)型ゼロ行列Oについて次の式が成立する。
      A + O = O + A = A
      A + ( -A ) = ( -A ) + A = O
      
      ここで、-Aは(-1)Aのこと。また、A+(-B)をA-Bと書く。
      
      
   7. 【定義】行列の積
      (l,m)型行列Aと(m,n)型行列Bに対して積ABを次のように定義する。
      
      ここで、cij = ai1･b1j + ai2･b2j + ・・・ + aim･bmj (i=1,2,・・・l, j=1,2,・・・n)
      　　　　　　=Σ(k=1,m)aik･bkj (i=1,2,・・・l, j=1,2,・・・n)
      
      
      
      
   8. 積が定義されている行列について次の式が成立する。
      
      • 積に関する性質
        (AB)C = A(BC)　　　　(結合法則)
        A(B+C) = AB + AC　　(分配法則)
        (A+B)C = AC + BC　　(分配法則)
        
      • スカラー倍に関する性質
        (aA)B = A(aB) = a(AB)
        
      
      
   9. 【定義】正方行列
      (n,n)型の行列を、n次の正方行列と言う。
      
      
   10. 【定義】単位行列
       (i,i)成分が1で、(i,i)成分以外の成分が0である行列Eをn次の単位行列と言う。
       
       
       
   11. n次の単位行列Eと正方行列Aについて
       AE = EA = A
       
       が成立する。
       
       
   12. 【定義】正則、逆行列
       n次正方行列Aに対して
       AX = XA =E
       
       となるn次正方行列Xが存在するとき、行列Aは正則であるという。
       またAが正則のとき、上の式を満たすXをAの逆行列といい
       A^-1　　　(エー・インバースと読む)
       
       で表す。
       
       
   13. 正則な行列Aの逆行列はただひとつ存在する。
       
       
   14. 正則なn次正方行列A、Bに対して
       (AB)^-1 = B^-1 A^-1
       
       

3. 連立１次方程式

4. 行列式

5. 空間ベクトル

6. 線形空間

7. 内積空間・固有値