数学公式集

1. 数学記号の使い方

   あまり手間はかけたくなので、ここのページでは下表のような
   独自の記号表現をしています。
   

   No.	名称	一般的な数学記号	このページでの数学記号
   1	Σ	n Σa(i) i=1	Σ(i=1,n) a(i)
   2	極限	lim f (x) x→0	lim(x→0) f (x)

2. 平面図形

   1. 対頂角は等しい　　　(2008/10/27)

   2. 同位角が等しいならば、平行である。

   3. 平行ならば、同位角は等しい。
      

   4. 錯角が等しいならば、平行である。　(2009/12/12)

   5. 平行ならば、錯角は等しい。
      

   6. 三角形の内角の和は180°である。　(2009/12/19)

   7. 三角形の合同条件
      • ３辺の長さがそれぞれ等しい。

      • ２辺とその間の角がそれぞれ等しい。

      • １辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

   8. 【定義】二等辺三角形
      ２つの辺の長さが等しい三角形

      

   9. 二等辺三角形の２つの底角は等しい。

   10. ２つの角が等しい三角形は二等辺三角形である。

   11. 【定義】平行四辺形

       2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形

       

   12. 平行四辺形の性質
       
       
       • 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい。
         AB = DC、AD = BC
         
         
       • 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい。
         ∠A = ∠C、∠B = ∠D
         
         
       • 2つの対角線は、たがいに他を二等分する。 AE = EC、BE = ED
         
         
       
       
   13. 平行四辺形であるための条件
       
       
       • 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
         これは平行四辺形の定義そのもの
         
         
       • 2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい。
         
         
       • 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい。
         
         
       • 1組の向かい合う辺が平行で、長さが等しい。
         
         
       • 2つの対角線が、たがいに他を二等分する。
         
         
       
       
   14. 円周角の定理【工事中】

   15. 相似【工事中】

   16. 平行線と比の定理【工事中】

       
       
       

   17. 平行線と比の定理の逆【工事中】

   18. 中点連結定理【工事中】

   19. 図形の面積
       
       
       • 四角形の面積【定義】
         底辺がa、高さがbの四角形の面積をSとすれば
         S = ab
         
         
         
       • 三角形の面積
         底辺がa、高さがhの三角形の面積をSとすれば
         S = ah/2
         
         
         
       • 平行四辺形の面積
         底辺がa、高さがhの平行四辺形の面積をSとすれば
         S = ah
         
         
         
       • 台形の面積
         上底がa、下底がb、高さがhの台形の面積をSとすれば
         S = (a + b) h/2
         
         
         
   20. 三平方の定理
       角Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、
       辺の長さをBC=a、CA=b、AB=cとすれば、
       

       c² = a² + b²
       

3. 整式・関数・グラフ

   1. 任意の整式A, B, Cについて
      • 交換法則
        加法: A + B = B + A
        乗法: A・B = B・A
        
      • 結合法則
        加法: (A + B) + C = A + (B + C)
        乗法: (A・B)･C = A・(B・C)
        
      • 分配法則
        A・(B + C) = A・B + A・C
        (B + C・)A = B・A + C・A
        
      
      
   2. 式の展開と因数分解
      • (a + b)² = a² + 2ab + b²
      • (a - b)² = a² - 2ab + b²
      • (a + b) (a - b) = a² - b²
      • (x + a) (x - b) = x² - (a + b) x + ab
      • (ax + b) (cx - d) = ac x² - (ad + cb) x + bd
      • (a + b)³ = a³ + a²b + ab² + b³
      • (a - b)³ = a³ - a²b + ab² - b³
      • (a + b)(a² - ab + ab²) = a³ + b³
      • (a - b)(a² + ab + ab²) = a³ - b³
      
      
   3. 分数式
      • Aは任意の整式、B, Mは0でない整式のとき
        (1)A/B = (AM)/(BM)
        (2>A/B = (A÷M)/(B÷M)
      • A, Cは任意の整式、B, Dは0でない整式のとき
        A/B × C/D = (AC)/(BD)
      • Aは任意の整式、B, C, Dは0でない整式のとき
        A/B ÷ C/D = (AD)/(BC)
      • 【通分】A, Cは任意の整式、B, Dは0でない整式のとき
        (1)A/B + C/D = (AD + BC)/BD
        (2)A/B - C/D = (AD - BC)/BD
        
        
      • 部分分数への分解
        【例】
        (5x+7)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 3/(x+2)
        
      
      
   4. 絶対値〔定義〕
      実数aの絶対値 |a|は
      • a > 0 のときは、a
      • a < 0 のときは、-a
      • a = 0 のときは、0
      
      
   5. 平方根
      2乗するとaになる実数をaの平方根という。すなわち
      x² = a
      
      
      • a≧0, b≧0のとき　√a√b = √(ab)
        
      • a≧0, b＞0のとき　√a/√b = √(a/b)
        
      • 任意の実数aに対して √a² = |a|
        
        
      • 分母の有理化
        分母に平方根を含む分数式は、 【例1】
        2/√6 = √6/3
        
        【例2】
        1/(√3-√2) = √3+√2
        
      
      
      
   6. 剰余定理
      多項式P(x)を(x-a)で割ったときの余りはP (a)
      
      
   7. 因数定理
      多項式P(x)は(x-a)で割り切れる。⇔ P (a)=0
      
      
   8. ２次方程式の解
      ２次方程式
      
      ax² + bx + c = 0 (a≠0)
      
      の解は、b² - 4ac ≧ 0 のとき次の式で与えられる。
      
      x = {-b ± √(b² - 4ac)} / (2a)
      
      b² - 4ac ＜ 0 のときは実数解なし。
      
      
   9. 不等式
      
      • A > B なら
        A + C > B + C
        A - C > B - C
        
        
      • A > Bなら
        (1)C > 0のとき
        AC > BC
        A/C > B/C
        (2)C < 0のとき
        AC < BC
        A/C < B/C
        
        
      • (A + B)/2 ≧ √(AB)
        
        
   10. 関数とグラフ【工事中】
       • y = ax + bのグラフ
         
         
         
       • y = x²のグラフ
         
         
         
       • y = 1/xのグラフ
         
         
         
       • y = √xのグラフ
         
         
         
       • グラフの平行移動
       • グラフの対象移動
       • 逆関数のグラフ
   
   

4. 指数関数・対数関数

   1. a > 0、m, nは整数、n > 0とするとき、
      
      • a^1/n = ⁿ√a
      • a = ^m/n = (ⁿ√a)^m = ^1/n = ⁿ√a^m
      
      
   2. 指数法則
      a > 0、b > 0、でr, sを有理数とするとき
      
      • a^ra^s = a^{r + s}
      • (a^r)^s = a^{r s}
      • (a b)^r = a^r a^r
      • a⁰ = 1
      • a^-r = 1/a^r
      
      
   3. 任意の正の数a (a≠1)に対して、
      log_a1 = 0、　log_aa = 1
      
      
   4. 対数の性質
      正の数M、Nに対して
      • log_aM N = log_aM + log_aN
      • log_aM/N = log_aM - log_aN
      • log_aM^p = p log_aM (pは実数)
   5. 底の変換公式
      a, bは1でない正の数とする。正の数Mに対して、
      log_bM = log_aM/log_ab
   
   

5. 三角関数

   1. 正弦定理
      △ABCの外接円の半径をRとするとき、
      
      a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
      
      
      

   2. 余弦定理
      △ABCにおいて
      
      a² = b² + c² - 2bc cosA
      b² = c² + a² - 2ca cosB
      c² = a² + b² - 2ab cosC
      

   3. 加法定理
      
      • sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ (複号同順)　　　<2009/02/14>
        
      • cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ 　　　<2009/02/14>
        
      • cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ 　　　<2009/02/14>
        
      • tan(α + β) = (tanα+tanβ) / (1-tanα tanβ)
        
      • tan(α - β) = (tanα-tanβ) / (1+tanα tanβ)

   4. 倍角公式
      
      • sin2α=2sinαcosα
        
      • cos2α=(cosα)²-(sinα)²
        =1-2(sinα)²
        =2(cosα)²-1
        
      • tan2α=2tanα/{1-(tanα)²}
        

   5. 半角公式
      
      • {sin(α/2)}²=(1-cosα)/2
        
      • {cos(α/2)}²=(1+cosα)/2
        
      • {tan(α/2)}²=(1-cosα)/(1+cosα)
      
      

   6. 正弦、余弦の積を和差の形になおす公式
      
      • sin α ・ cos β = 1/2・{sin(α+β) + sin(α-β)}
      • cos α ・ sin β = 1/2・{sin(α+β) - sin(α-β)}
      • cos α ・ cos β = 1/2・{cos(α+β) + cos(α-β)}
      • cos α ・ cos β = -1/2・{cos(α+β) - cos(α-β)}

   7. 正弦、余弦の和差を積の形になおす公式
      
      • sinθ + sinφ = 2 sin(θ+φ)/2 ･ cos(θ-φ)/2
      • sinθ - sinφ = 2 cos(θ+φ)/2 ･ sin(θ-φ)/2
      • cosθ + cosφ = 2 cos(θ+φ)/2 ･ cos(θ-φ)/2
      • cosθ - cosφ = -2 cos(θ+φ)/2 ･ cos(θ-φ)/2

6. 数列

   1. 等差数列の一般項
      初項a、公差dの等差数列の一般項a_n
      a_n=a+(n-1)d
      
      
   2. 等差数列の和
      初項a、公差d、項数nの等差数列の和Sn
      Sn=n{2a+(n-1)d}/2
      
      
   3. 等比数列の一般項
      初項a、公比rの等比数列の一般項a_n
      a_n=ar^n-1
      
      
   4. 等比数列の和
      初項a、公比r、項数nの等比数列の和Sn
      Sn=a{1-rⁿ}/(1-r)　(r≠1)
      Sn=an　　　　(r＝1)
      
      
   5. 累乗の和
      Σ(i=1,n)i = n(n+1)/2
      Σ(i=1,n)i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
      Σ(i=1,n)i^3 ={n (n+1)/2}^2
      
      
   6. �狽ﾌ性質
      Σ(k=1,n)(a_k+b_k) = Σ(k=1,n)(a_k) +Σ(k=1,n)(b_k)
      Σ(k=1,n)(ca_k) = cΣ(k=1,n)(a_k)
      
      

7. 順列・組合せ

   1. nPr = nPr = n * (n-1) * (n-2) * ・・・・ * (n-r+1)
      
   2. n！ = nPn = n * (n-1) * (n-2) * ・・・・ * 2 * 1
      
   3. nPr = n！ / (r-1)！
      
   4. 0！ = 1
      
   5. nCr = {n * (n-1) * (n-2) * ・・・・ * (n-r+1)} / {(r-1) * (r-2) * ・・・・ * 2 * 1}
      
   6. nCr = n！ / r！(n-r)！
      
   7. nC₀ = 1
      
   8. nCn = 1
      
   9. nCr = nC_n-r
      
   10. nCr = _n-1C_n-r + _n-1Cr (1≦r≦n-1)
       
   11. 二項定理【工事中】

8. 平面図形と方程式

   1. 直線上の点　　　(2008/12/30)
      
      2点A(a)、B(b)に対して、線分ABをm:nに内分する点Pの座標xは
      
      x = (mb + na) / (m + n)
      
      
      ABをm:nに外分する点Pの座標xは
      
      x = (mb - na) / (m - n)
      
      
      とくに、2点A、Bの中点の座標は
      x = (a + b) / 2
      
      
   2. 円と軌道【工事中】
   3. 不等式と領域【工事中】

9. ベクトル

   1. ベクトルと演算【工事中】
   2. 平面の図形とベクトル【工事中】
   3. 空間の図形とベクトル【工事中】

10. 行列

    1. A、B、Cをすべて同じ型の行列とするとき、
       • A + B = B + A         (交換法則)
       • (A + B) + C = A + (B + C)  (結合法則)
         
         
       • (a + b) A = aA + bA (分配法則)
       • a(A + B) = aA + bB (分配法則)
       • (ab)A = a(bB) (結合法則)
         
         
    2. (m,n)型行列Aと(m,n)型ゼロ行列Ｏについて次の式が成立する。
       • A + O = O + A = A
       • A + (-A) (-A) + A = O
         
         
    3. 正方行列と逆行列
       • 【定義】n次正方行列Aに対して
         
         AX = XA = E
         
         となるn次正方行列Xが存在するとき、行列Aは正則であるという。
         またAが正則のとき、上の式をみたすXをAの逆行列といい、
         
         A^-1 (エー・インヴァースと読む)
         
         で表わす。
         
       • 正則な行列Aの逆行列はただ１つ存在する。
       • 正則なn次正方行列A、Bに対して
         
         (AB)^-1 = B^-1A^-1
         
         が成立する。

11. １変数関数の微分

    1. lim(x→0) {sin x / x } = 1
       
    2. lim(x→a)f(x)=A、lim(x→a)g(x)=Bのとき
       (1)lim(x→a)cf(x) = c lim(x→a)f(x) = cA
       (2)lim(x→a){f(x)±g(x)} = lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x) = A±B
       (3)lim(x→a){f(x) g(x)} = lim(x→a)f(x) lim(x→a)g(x) = AB
       (4)lim(x→a){f(x)/g(x)} = lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x) = A/B (B≠0)
       (注:(x→a)のかわりに(x→∞)または(x→-∞)としたときも成り立つ)
       

    3. 【定義】x=aを含む区間で定義された関数y=f(x)について
       
       lim(h→0){f(x+h)-f(x)}/h}
       
       が存在するとき、f(x)はx=aで微分可能であるという。
       また、その極限値をx=aにおける微分係数といい、f'(a)で表わす。
    4. y=f(x)がx=aにおいて微分可能ならば、そこで連続である。
    5. 【定義】y=f(x)がある区間I のすべての点xにおいて微分可能なとき、
       xに対してその微分係数f'(x)を対応させる関数
       
       x　---→ f'(x)
       
       をy=f(x)の導関数といい、y'、f'(x)、dy/dx、df/dx、d/dx f(x)
       などで表わす。
    6. C' = 0 (C:定数)
       x' = 1
       (x²)' = 2x
       (x³)' = 3x²
       
    7. 関数f(x)とg(x)がある区間I において微分可能なとき、
       cf(x) (cは定数)とf(x)±g(x)もI で微分可能であり次の式が成立する。
       (1){cf(x)}' = c{f(x)}'
       (2){f(x)±g(x)}' = f'(x)±g'(x)
    8. 関数f(x)とg(x)がある区間I において微分可能なとき、
       f(x)g(x)、f(x)/g(x) (ただしg(x)≠0)もI で微分可能であり次の式が成立する。
       (1){f(x)g(x)}' = f(x)'g(x)±f(x)g'(x)
       (2){f(x)/g(x)}' = {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}/{g(x)}²
    9. (xⁿ)' = nx^n-1 (n:正の整数)
    10. 合成関数の微分公式
        u=f(x)は区間Iで微分可能、y=g(u)はJで微分可能とし、
        u=f(x)の値域はJに含まれるとする。
        このとき、合成関数y = g(f(x))は区間Iで微分可能で、
        次の微分公式が成立する。
        
        y' = g ' (u) f ' (x)
        または
        dy/dx = (dy/du) (du/dx)
        
        
    11. 三角関数の微分
        • (sin x) ' = cos x
        • (cos x) ' = -sin x
        • (tan x) ' = 1/cos²x
        
        
    12. 指数関数・対数関数の微分
        • (log_kx) ' = 1/x ・ log_k e
        • log x = 1/x
        • (k^x) ' = k^x log k
        • (e^x) ' = e^x
        
        

12. １変数関数の積分

    1. 積分公式【工事中】
    2. 部分積分【工事中】
    3. 置換積分【工事中】
    4. 面積【工事中】
    5. 体積【工事中】

13. 集合・命題

    1. 集合とは、要素とは
       
    2. 集合の表し方
       
       • 要素を列記する方法
         
       • 要素が満たす条件を記述する方法
         
    3. 属する
       
       • ∋
         
       • ∈
         
       • ?