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初等幾何 定理11(三辺合同定理)
三辺がそれぞれ相等しい三角形は合同です。
すなわち△ABCと△DEFにおいて、
AB = DE、BC = EF、CA = FD
ならば
△ABC ≡ △DEF
が成り立ちます。
【証明】
直線DEに関してFの反対側に点Qをとり、△ABCと点D、E、Qに
公理5を適用して
半直線DE上の点B'と直線DEに関してQと同じ側にある点C'を
△DB'C' ≡ △ABC
となるように定めます。そうすると
DB' = AB = DE
なので、B'とEは一致することから上の合同式は
△DEC' ≡ △ABC ・・・・・(1)
となります。
直線DEに関してQとFは反対側にあり、C'とQは同じ側にあるので
C'とFは反対側にあります。(定理1)
すなわち、線分FC'と直線DEは交わります。
(反対側の定義)
その交点をPとすれば、Pは
(i)DとEの間にあるか
(ii)線分DEの延長上にあるか、または
(iii)D、Eのいずれかと一致します。
PとDが一致しないとき、(1)よりC'D=CA、また仮定によりCA=FDなので
C'D=FDとなり、△DC'Fは二等辺三角形です。
ゆえに定理8により
∠DC'F = ∠DFC' ・・・・・(2)
となります。
PとEが一致しないときは、同様に考えると△EC'Fは二等辺三角形です。ゆえに
∠EC'F = ∠EFC' ・・・・・(3)
となります。
(i)PがDとEの間にある場合
点Fは∠DC'Eの内部にあり、点C'は∠DFEの内部にあるので
公理4より
∠DC'E = ∠DC'F + ∠EC'F
∠DFE = ∠DFC' + ∠EFC'
ゆえに(2)と(3)を辺々加えると
∠DC'E = ∠DFE ・・・・・(4)
(ii)線分DEの延長上にある場合
EがDとPの間にあるか、DがEとPの間にあるか、のいずれかですが、
いずれの場合も同様なので、EがDとPの間にあるとすると
Eは∠DC'Fの内部にあることになるので、
∠DC'F = ∠DC'E + ∠EC'F
ゆえに
∠DC'E = ∠DC'F - ∠EC'F
同様に
∠DFE = ∠DFC' - ∠EFC'
ゆえに(2)から(3)を辺々引くと等式(4)となります。
(iii)PがEまたはDと一致する場合
仮定によりCA=FD、かつ(1)よりC'D=CAなのでC'D=FD、
同様にC'E=FEであり、これらと(4)により
二辺夾角の合同定理(定理7)が成り立ち
△ABC ≡ △DEF
が証明されました。(証明終: 2026/05/30)
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