電子工作のための　初等幾何

1. 目次

1. 目次
2. 記述範囲
3. 参考文献
4. 結合と計量
5. 三角形の合同
6. 平行四辺形(工事中)
7. 三平方の定理(工事中)

2. 記述範囲

初等幾何のうち、電子工作(のための数学)に必要となる項目の抜粋です。
概ね中学数学の図形の話なので結論はよく知られた内容ですが、
単なる公式の羅列ではなく、私に理解出来る範囲で(笑)証明を試みます。
なお、初等幾何の証明(論理の構築手順)は文献によって多少異なるように見えます。
ここでの証明の仕方も我流になると思います。(^^;




3. 参考文献

1. 楽しく学ぶ数学の基礎　図形分野<上:基礎体力編>(2012 初版1刷)
星田直彦著、ソフトバンク・クリエイティブ

2. 楽しく学ぶ数学の基礎　図形分野<下:体力増強編>(2012 初版1刷)
星田直彦著、ソフトバンク・クリエイティブ
上下２巻からなる新書版ですが、イラストも楽しく、初めて初等幾何に挑戦される
方にはまずはこれをおすすめします。

3. 初等幾何学[POD版](2012) 第1章 平面幾何の基礎、安藤清・佐藤敏明共著、森北出版
「第1章　平面幾何の基礎」はコンパクトにまとまっています。
後半の章では軌跡と作図も扱っています。

4. わかる幾何学(2021 16版2刷)、秋山武太郎著・春日屋伸昌改定、日新出版
古い文献ですが(初版は1959)、初等幾何学の分野では有名な本のようです。
やや厚みがありますが記述が平易なので、初学者であってもじっくり初等幾何学全体に
取り組みたい方にはおすすめと思われます。

5. 幾何のおもしろさ(1994、第12刷)、小平邦彦著、岩波書店
日本人で最初にフィールズ賞を受賞した小平邦彦氏の著書です。
(高校数学の)数学入門シリーズの一冊ですが、ややレベルが高い内容だと思います。

6. 数学�UＢ(昭和51年(1976)) �Y章 平面幾何の公理的構成、小平邦彦編、東京書籍
高校数学の教科書ですが、古いので手に入らないでしょう。

7. 幾何のはなし(1999年 第1刷)、大村平著、日科技連
はなしシリーズの1冊で、数学的な形式にはあまりこだわらず、読み物風です。
これが解りやすいかどうかは、個人の好みによるでしょう。
同シリーズの似たタイトルに「図形のはなし」がありますが、こちらは平面幾何だけでなく、
グラフ理論、トポロジー、非ユークリッド幾何など図形に関するもっと広い内容を
扱っています。




4. 結合と計量

1. 【公理1】
相異なる2点A、Bが与えられたとき、AとBを通る直線を
引くことが出来きます。AとBを通る直線はただ1つしかありません。



引くことが出来るとは、言い換えると存在するということです。


公理または定理から容易に導かれる定理を系といいます。


2. 【系1】
相異なる2直線は交わらないか、またはただ1点で交わります。


証明はこちら。



3. 【定義】 線分
相異なる2点、A、Bを通る直線を直線AB(または直線BA)と呼びます。
また、直線AB上にあって、AとBの間にある点全体の集合に
AとBをつけ加えたものを、線分AB(または線分BA)と呼びます。



4. 【定義】(直線上の1点に関する) 同じ側、反対側
直線l上に1点Oが与えられたとします。
l上にOとは異なる2点A、Bをとったとき、Oが線分AB上にないならば、
Oに関してAとBは同じ側にあるといい、Oが線分AB上にあるとき
Oに関してAとBは反対側にあるといいます。





5. 【定義】 半直線、端(端点)、延長
Oに関してAと同じ側にあるl上の点全体の集合をh、反対側にある
l上の点全体の集合をkとしたとき、hにOを付け加えたものを半直線OA、
Oをその端(または端点)といいます。また、kにOを付け加えたものを
半直線OAの延長といいます。



kは半直線OBです。
直線lはその上の点Oによってふたつの半直線OA、OBに分けられます。


直線lから線分ABを除いた残りを線分ABの延長といいます。
線分ABの延長は直線lのBに関してAの反対側にある部分と、
Aに関してBの反対側にある部分のふたつの部分からなります。



6. 【公理2】
直線l上にない3点A、B、Cをとったとき、lは3つの線分AB、AC、BCのいずれとも
交わらないか、または、そのうちの2つと交わって他の1つとは交わりません。





7. 【定義】(平面上の線に関する)同じ側、反対側
直線上にない2点A、Bをとったとき、線分ABがlと交わらないならば、
AとBはlの同じ側にある、あるいはlに関してAとBは同じ側にある
といいます。


線分ABがlと交わるならば、AとBはlの反対側にある、あるいは
lに関してAとBは反対側にあるといいます。



8. 【定理1】
直線lに関して、

(1)BとAが同じ側にあり、CとAも同じ側にあれば、
　BとCは同じ側にあります。


(2)BとAが反対側にあり、CとAも反対側にあれば、
　BとCは同じ側にあります。


(3)BとAが同じ側にあり、CとAが反対側にあれば、
　BとCは反対側にあります。



これらの証明はこちら。



9. 【定義】半平面
直線lが与えられたとき、l上にない点Aをとって、lに関して
Aと同じ側にある点全体の集合をH、Aと反対側にある点全体の集合をK
とすれば、定理1によって
(1)Hに属する任意の2点は、lの同じ側にある。
(2)Kに属する任意の2点は、lの同じ側にある。
(3)Hに属する点とKに属する点は、lに関して反対側にあります。

直線lは平面からlを除いた残りの2つの部分HとKに分けます。
このおのおのの部分をlの定める半平面といいます。



10. 【定義】角、頂点、辺、平角、内部
2つの半直線OA、OBからなる図形を角といい、∠AOBで表します。
半直線OA、OBを∠AOBの辺、Oをその頂点といいます。
Oを頂点とする他の角と混同する恐れがない場合は、
∠AOBを∠Oと略記することがあります。


特に、3点A、O、Bが1直線上にあり、Oに関してAとBが反対側にあるとき、
∠AOBを平角といいます。


∠AOBが平角でないとき、∠AOBの辺上にない点Pが、直線OAに関しては
Bと同じ側に、直線OBに関してはAと同じ側にあるならば、Pは∠AOBの
内部にあるといいます。∠AOBの内部にある点全体の集合が
∠AOBの内部です。


∠AOBが平角のときは、直線ABの定める2つの半平面のいずれか一方を、
∠AOBの内部と呼びます。



11. 線分の長さ
線分ABの長さは、正の実数であらわされます。
線分ABの長さを、同じ記号ABで表します。


線分ABと線分BAは同じものなので
AB = BA
です。

実数とは何かの定義がされていませんが、それを議論すると
数論の話を展開する必要があるので、ここでは実数とは何かが
判っているものとします。(^^;



12. 【公理3】
点Cが線分AB上にあって、A、Bと異なるとき、等式
AB = AC + CB

が成り立ちます。



長さは正の実数なので、AC＞0、CB＞0です。よって
AB ＞ AC
AB ＞ CB
です。



13. 【定理2】
半直線AB上にAと異なる点Cをとったとき、AB = ACならば
BとCは一致します。

証明はこちら。


14. 角の大きさ
角の大きさは正の実数で表されます。
混同するおそれがないときは、∠AOBの大きさを、同じ記号∠AOBで表します。
例えば、等式
∠AOB = ∠CPD

は、∠AOBの大きさが∠CPDの大きさに等しいことを意味します。



15. 【公理4】
点Cが∠AOBの内部にあるとき、等式
∠AOB = ∠AOC + ∠COB

が成り立ちます。



角の大きさは正の実数なので、∠AOC＞0、∠COB＞0です。よって
∠AOB ＞ ∠AOC
∠AOB ＞ ∠COB
です。



16. 【定理3】
直線OAに関して、同じ側に点B、Cをとったとき、
∠AOB = ∠AOC

ならば、半直線OBとOCは一致します。

証明はこちら。



5. 三角形の合同

1. 【定義】三角形、頂点、辺、対辺、対角
同一直線上にない3点をA、B、Cとするとき、線分AB、BC、CAからなる
図形を三角形ABCといい、記号△ABCで表します。

A、B、Cを△ABCの頂点、線分AB、BC、CAを△ABCの辺、
辺BC、CA、ABをそれぞれ頂点A、B、Cの対辺と呼び、
∠CAB、∠ABC、∠BCAを△ABCの角または内角といい、
しばしば∠A、∠B、∠Cと略記します。
∠A、∠B、∠Cをそれぞれ辺BC、CA、ABの対角といいます。



2. 【定義】三角形の内部
点Pが直線BCに関しては頂点Aと同じ側にあり、直線CAに関しては頂点Bと
同じ側にあり、直線ABに関しては頂点Cと同じ側にあるとき、Pは△ABCの内部に
あるといいます。△ABCの内部にある点の全体を△ABCの内部とよびます。



3. 【定義】三角形の合同
△ABC、△DEFについて等式
∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F、
BC = EF、　CA = FD、　AB = DE

が成り立つとき、△ABCと△DEFは合同であるといいます。
△ABCと△DEFが合同であることを
△ABC ≡ △DEF

と表します。



ふたつの図形があって、一方の図形の形と大きさを変えないで移動
または裏返しにして、他方の図形に重ね合わせることができるとき、
ふたつの図形は合同である、と考えられます。
しかし、図形とは何かとか、一般的な図形の形や大きさを数学的に
定義するのはなかなか面倒なようです。
そこで、まずは図形として三角形に限定して考えます。
そうすると、ふたつの三角形の三つの角と三つの対辺がそれぞれ等しければ
同じ形であると考えられます。

ところで、三角形の内角の和は2∠Rなので、角の条件はふたつで良いのでは？
と思うかもしれませんが、「三角形の内角の和は2∠R」になることは
まだ証明していないので三つの角が等しいことが条件になっています。
また、例えば三角形の合同条件のひとつに「三辺がそれぞれ等しい」が
あるので、三つの角が等しいは冗長ではないか、と思うかもしれませんが
三角形の合同条件の証明も終わっていないので、角と辺に関する合計6個の
条件をふたつの三角形の合同の定義としています。



4. 【公理5】
△ABCと一直線上にない任意の三点O、P、Qに対して、半直線OP上の点B'と
直線OPに関してQと同じ側にある点C'を合同式:
△OB'C' ≡ △ABC

が成り立つように定めることが出来ます。



この公理の表現は最初難しく感じるかもしれませんが、要するに
△ABCと合同な三角形を三点O、P、Qで指定した任意の位置に
移動することが出来る、と言っています。
上の図の例は、△ABCを移動させただけですが、△ABCを裏返して移動した
場合の例は下図となります。




5. 【定理4】
線分ABと半直線OPが与えられたとき、半直線OP上の点B'を
OB' = AB

となるように定めることが出来ます。


証明はこちら。


6. 【定理5】
∠CABと一直線上にない三点O、P、Qが与えられたとき、
直線OPに関してQと同じ側にある点C'を
∠C'OP = ∠CAB

となるように定めることが出来ます。


証明はこちら。


7. 【定理6】
△ABCと△DEFにおいて AB=DE ならば、
直線DEに関してFと同じ側にある点C'を合同式
△DEC' ≡ △ABC

が成り立つように定めることができます。


証明はこちら。

△ABCの∠Aを辺ABと辺ACの夾角といいます。


8. 【定理7】 二辺夾角の合同定理
二辺とその夾角がそれぞれ相等しい三角形は合同です。
すなわち、△ABCと△DEFにおいて、
AB = DE、AC = DF 、
∠A = ∠D

ならば
△ABC ≡ △DEF

です。


証明はこちら。


9. 【定義】二等辺三角形
二辺が等しい三角形を二等辺三角形といいます。
△ABCにおいてAB=AC であるとき、Aを二等辺三角形の頂点、∠Aを頂角
辺BCを底辺、∠B、∠Cを底角といいます。



10. 【定理8】
二等辺三角形の二つの底角は等しくなります。
すなわち、△ABCにおいてAB=AC ならば∠B=∠C となります。


証明はこちら。


11. 【定義】正三角形
三辺が等しい三角形を正三角形といいます。



12. 【定理8の系】
正三角形の三つの角は等しいです。

証明はこちら。


13. 【定理9】 一辺両端角の合同定理
△ABCと△DEFにおいて、
AB = DE
∠A = ∠D、　∠B = ∠E

ならば
△ABC ≡ △DEF

が成り立ちます。


証明はこちら。


14. 【定理10】
△ABCにおいて∠B=∠C ならばAB=AC となります。 (定理8の逆)


証明はこちら。


15. 【定理11】 三辺合同定理
三辺がそれぞれ相等しい三角形は合同です。
すなわち△ABCと△DEFにおいて、
AB = DE、BC = EF、CA = FD

ならば
△ABC ≡ △DEF

が成り立ちます。


証明はこちら。







6. 平行四辺形(工事中)








7. 三平方の定理(工事中)








8. 面積(工事中)








9. 比例(工事中)








10. (三角形の)相似(工事中)








11. 円(工事中)

1. 円周


2. 円の面積





12. 平面図形(旧版)

    (後日、削除します)
1. 対頂角は等しい　　　(2008/10/27)

2. 同位角が等しいならば、平行である。

3. 平行ならば、同位角は等しい。
   

4. 錯角が等しいならば、平行である。　(2009/12/12)

5. 平行ならば、錯角は等しい。
   

6. 三角形の内角の和は180°である。　(2009/12/19)

7. 三角形の合同条件
   • ３辺の長さがそれぞれ等しい。

   • ２辺とその間の角がそれぞれ等しい。

   • １辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

8. 【定義】二等辺三角形
   ２つの辺の長さが等しい三角形

   

9. 二等辺三角形の２つの底角は等しい。

10. ２つの角が等しい三角形は二等辺三角形である。

11. 【定義】平行四辺形

    2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形

    

12. 平行四辺形の性質
    
    
    • 2組の向かい合う辺はそれぞれ等しい。
      AB = DC、AD = BC
      
      
    • 2組の向かい合う角はそれぞれ等しい。
      ∠A = ∠C、∠B = ∠D
      
      
    • 2つの対角線は、たがいに他を二等分する。 AE = EC、BE = ED
      
      
    
    
13. 平行四辺形であるための条件
    
    
    • 2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である
      これは平行四辺形の定義そのもの
      
      
    • 2組の向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい。
      
      
    • 2組の向かい合う角がそれぞれ等しい。
      
      
    • 1組の向かい合う辺が平行で、長さが等しい。
      
      
    • 2つの対角線が、たがいに他を二等分する。
      
      
    
    
14. 円周角の定理【工事中】

15. 相似【工事中】

16. 平行線と比の定理【工事中】

    
    
    

17. 平行線と比の定理の逆【工事中】

18. 中点連結定理【工事中】

19. 図形の面積
    
    
    • 四角形の面積【定義】
      底辺がa、高さがbの四角形の面積をSとすれば
      S = ab
      
      
      
    • 三角形の面積
      底辺がa、高さがhの三角形の面積をSとすれば
      S = ah/2
      
      
      
    • 平行四辺形の面積
      底辺がa、高さがhの平行四辺形の面積をSとすれば
      S = ah
      
      
      
    • 台形の面積
      上底がa、下底がb、高さがhの台形の面積をSとすれば
      S = (a + b) h/2
      
      
      
    • 円の面積
      
      
20. 三平方の定理(ピタゴラスの定理)
角Cを直角とする直角三角形ABCにおいて、
辺の長さをBC=a、CA=b、AB=cとすれば、


c² = a² + b²





13. 立体図形(工事中)