電気計測

1. 誤差伝搬の法則

   1. 求める量yが2つ以上の量の和または差であらわされる場合、例えば、yが
      
      y = x₁ + x₂ + x₃
      
      であらわされる場合、x₁, x₂, x₃にそれぞれ �凅₁,�凅₂,�凅₃の誤差があると
      すれば、yの誤差の最大値�凉は
      
      |�凉| = |�凅₁| + |�凅₂| + |�凅₃|
      
      となる。従って、測定の際は |�凅₁|, |�凅₂|, |�凅₃| を同じ程度に小さくすることが望ましい。
      |�凅₁|, |�凅₂|, |�凅₃| を同じ程度に小さくすることは、x₁, x₂, x₃ の一番下の桁をそろえることと
      同じ意味となる。
      また、一般にyが
      
      y = a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ・・・・
      
      であらわされる場合は、|a₁�凅₁|, |a₂�凅₂|, |a₃�凅₃|が同じ程度の大きさであることが
      望ましい。
      
      
   2. 求める量yが2つ以上の量の積または商であらわされる場合、例えばyが
      
      y = x₁ x₂
      
      であらわされる場合、yの誤差を�凉とすれば
      
      y + �凉 = (x₁ + �凅₁) (x₂ + �凅₂)
      　　　　　　　= x₁x₂ + x₁�凅₂ + �凅₁x₂ + �凅₁�凅₂
      
      となるが、�凅₁�凅₂は小さな値になるから省略してよい。
      そこで左辺をy、右辺をx₁ x₂で割って、相対誤差を求めると
      
      �凉/y = �凅₁/x₁ + �凅₂/x₂
      
      となるから、この場合は|�凅₁/x₁|, |�凅₂/x₂|、 すなわち、それぞれの
      相対誤差が同じ程度であることが望ましい。
      
      またyが
      
      y = x₁/x₂
      
      であらわされる場合は
      
      (y + �凉) (x₂ + �凅₂) =　x₁ + �凅₁
      
      �凉�凅₂は省略してよいから
      
      �凉/y + �凅₂/x₂ = �凅₁/x₁
      �凉/y = �凅₁/x₁ - �凅₂/x₂
      
      となる。そこで、この場合も同様に相対誤差 |�凅₁/x₁|, |�凅₂/x₂|が
      同じ程であることが望ましい。
      
      しかしyが
      
      y = x₁ x₂²
      
      であらわされる場合は
      
      �凉/y = �凅₁/x₁ + 2�凅₂/x₂
      
      となるから、|�凅₂/x₂|は|�凅₁/x₁|の 1/2であることが望ましい。
      

2. 可動コイル型直流電流計

   1. 直流電流計の構造
      
      
      
   2. 直流電流計の原理
      図に示すように、永久磁石の磁極片と円筒状軟鉄心との間の ギャップにおける
      一定放射状磁界内に可動コイルを装置し、 この可動コイルを流れる被測定電流と磁界との
      電磁力によって駆動トルクを生ずるようにしたものです。
      
      いま、一定放射状磁界の磁束密度をB[Wb/m²]、 可動コイルの幅をa[m]、その長さをb[m]、
      巻数をN[回]、可動コイルを流れる電流をI[A]とすれば、 駆動トルクT_dは、
      
      T_d = BabNI [N・m]
      
      この駆動トルクT_dによって可動コイルが回転すれば、
      次第に制御バネによる制御トルクT_cが発生します。
      制御トルクT_cは可動コイルの回転角θに比例するため、
      
      T_c = k_cθ [N・m]
      
      T_d = T_cなる平衡条件が満足されれば、 可動コイルに直結された指針は
      静止するので、このときの可動コイルの回転角、 すなわち指針の偏れθは
      
      BabNI = k_cθ [N・m]
      
      ∴ θ = BabN/k_c・I = KI
      
      ただし、K = BabN/k_c
      
      すなわち、指針の偏れθは電流に比例するため、 メモリは平等目盛となります。
      この計器の固有振動数は1〜2[Hz]なので、直流専用計器で、 平均値を指示します。
      
      
   3. 電流計の接続方法
      電流計は回路に直列に接続します。
      下記の回路の場合、電流Iが流れている個所に電流計を
      挿入します。
      
      
      例えば、下図のようになります。
      アナログ・テスターの場合、マイナス方向の電流はメーターが
      逆に振れてしまうため測定出来ません。
      このため、端子の接続方向に注意します。
      具体的には、 テスター棒の赤(+)から黒(-)に電流が流れるように接続します。
      
      
      

3. 分流器

   電流計の測定範囲を拡大するために、電流計と並列に接続する抵抗器を
   分流器といいます。
   
   回路の全電流がI [A]のとき、内部抵抗 R_a [Ω]の電流計A
   に流れる電流 i [A]は、
   
   i = R_s / (R_s + R_a) ・ I　………�@
   
   となります。I / i を分流器の倍率といい、これをmとおくと、
   
   I / i = m = (R_s + R_a) / R_s　　(�@の変形)
   m R_s = R_s + rR_a
   ∴　 R_s = R_a / ( m - 1) [Ω]
   
   
   
   

4. 可動コイル型直流電圧計

   1. 直流電圧計の原理
      可動コイル型直流電圧の内部は、可動コイル型直流電流計に
      直列に抵抗器を接続した構成になっています。
      電流計の内部抵抗を r_a[Ω]、
      電流計を流れる電流をI [A]、電流計の端子間の電圧をV [V]とすれば、
      オームの法則により、
      
      V = I・r_a[V]
      
      の換算により電圧が求められるため、この電流計を電圧計として
      使用することが出来ます。
      あとは、倍率器を接続することにより、必要な電圧レンジに設定します。
      
      
      
   2. 電圧計の接続方法
      電圧計は回路に並列に接続します。
      下記の回路の場合、測定したい電圧Eに電圧計を
      挿入します。
      
      
      実際には下図のように接続します。
      アナログ・テスターの場合、マイナス方向の電圧はメーターが
      逆に振れてしまうため測定出来ません。
      このため、端子の接続方向に注意します。
      具体的には、 テスター棒の赤(+)が黒(-)より電圧が高くなるように接続します。
      
      
      
      
      

5. 倍率器

   電圧計の測定範囲を拡大するために、電圧計と直列に接続する抵抗器を
   倍率器といいます。
   
   電圧計の内部抵抗を R_v [Ω]、倍率器の抵抗を R_m [Ω]、
   全電圧を V [V]、計器の指示を v [V]とすると
   
   I = v / R_v = (V - v) / R_m
   
   したがって、電圧計の指示 v は、
   
   v = R_v/(R_v + R_m) ・ V [V]
   
   V / v を倍率器の倍率といい、これをmとおくと、
   
   R_v + R_m = mR_v
   ∴　R_m = (m - 1)R_v [Ω]
   
   
   
   

6. 直流電位差計

   1. 直流電位差計の原理
      標準電池の起電力を基準にして、他の起電力の値を正確に求める装置を電位差計といいます。
      下図のように、標準電池の起電力Vsの値を示す点sに接点を置き、検流計Gが平衡するように
      可変抵抗器VRを調整して電位差計に電流Iを流します。
      次に、被測定電圧Vxに切り換え、接点を調整して平衡をとります。
      x点で平衡したとしてas,ax間の抵抗をそれぞれRs,Rxとすれば
      
      Vx：Vs = IRx：IRs = Rx：Rs
      ∴Vx = (Rx/Rs) * Vs
      
      
      
      抵抗の比Rx/Rsは正確に決定することが出来ます。
      また、測定対象から電流をとらない平衡法であることから電位差計は精密に電圧を
      測定することが出来ます。
      
      
   2. 電流の測定
      既知抵抗Rの両端の電圧Vxを電位差計で測定することにより、
      被測定電流Iは
      
      I = Vx/R
      
      により求めることが出来ます。
      
      
      
      
      
   3. 抵抗の測定
      標準抵抗Sと測定抵抗Xを直列に接続して電流Iを流します。
      SとXの電圧降下Vs、Vxを電位差計で測定すれば
      
      S：X = Vs：Vx
      ∴X = (Vx/Vs) * S
      
      により測定抵抗Xを求めることが出来ます。
      
      
      
      
      
   
   

7. ホイートストン・ブリッジ

   1. 回路構成
      下図のように4個の抵抗器を環状に接続し、向かい合った接続点abおよびcd間に
      それぞれ電池Eおよび検流計Gを接続した回路をホイートストンブリッジ
      と言います。
      
      
      
      
      
   2. 動作原理
      スイッチKを開いた状態では、
      c点の電圧Vcbは電圧Eを抵抗RとXで分圧したものなので
      
      Vcb = X/(R+X)・E
      
      となります。
      また、d点の電圧Vdbは電圧Eを抵抗SとBで分圧したものなので
      
      Vdb = B/(S+B)・E
      
      となることから、cd間の電圧Vcdは
      Vcd = Vcb - Vdb
      　　= X/(R+X)・E - B/(S+B)・E
      
      抵抗の値を調整してVcd=0にすれば、
      X/(R+X)・E = B/(S+B)・E
      X(S+B)・E = B(R+X)・E
      XS+XB = BR+BX
      ∴ XS = RB
      
      この状態でスイッチKを閉じても検流計Gには電流は流れません。
      このように抵抗を加減してXS=RBの条件を満たすようにすることを
      ブリッジの平衡をとるといいます。
      そして、抵抗S,R,Bが既知で抵抗Xが未知であるならば
      X = RB/S
      
      により未知の抵抗Xの値を決定することが出来ます。
      
      

8. 交流ブリッジ

   1. 交流ブリッジ一般
      
      • 回路構成
        交流ブリッジには様々な種類があります。
        基本はホイートストン・ブリッジと同様で下図のように4辺からなるブリッジです。
        ただし、Z1〜Z4はベクトル量です
        
        
        
        
        
      • 動作原理
        平衡条件は、
        Z1・Z4 = Z2・Z3
        
        となります。Z1〜Z4はベクトル量であり、
        両辺の実数分と虚数分とが等しくならなければならないことから
        |Z1|Z4| = |Z2||Z3|　・・・�@(補足参照)
        φ1 + φ4 = φ2 + φ3　・・・�A(補足参照)
        
        のふたつの条件を満足しなければなりません。
        
        
      • 補足
        Z1 = |Z1|exp(jφ1)
        Z2 = |Z2|exp(jφ2)
        Z3 = |Z3|exp(jφ3)
        Z4 = |Z4|exp(jφ4)
        とします。
        Z1・Z4 = Z2・Z3
        から
        |Z1|exp(jφ1)・|Z4|exp(jφ4)= |Z2|exp(jφ2)・|Z3|exp(jφ3)
        |Z1||Z4|exp{j(φ1+φ4)} = |Z2||Z3|exp{j(φ2+φ3)}
        両辺が等しくなるためには
        |Z1|Z4| = |Z2||Z3|　・・・�@
        φ1 + φ4 = φ2 + φ3　・・・�A
        とならなければならず�@と�Aが導けます。
        
      
      
   2. ソーティ・ブリッジ(De Sauty)
      
      • 回路構成
        下図のようなブリッジをソーティ・ブリッジ(または、デソーティ・ブリッジ、
        あるいはソーティの容量ブリッジなど)
        と呼ぶようです(?)。容量を比較するブリッジです。
        RとD,Csの位置は逆でもかまいません。
        
        
        
        
        
      • 動作原理
        平衡条件である、
        Z1・Z4 = Z2・Z3
        
        より、
        R・(D+1/jωCs) = (Rx+1/jωCx)・B
        ∴RD = RxB かつ R/jωCs = B/jωCx
        
        以上より未知数Cx、Rxは
        Cx = B/R・Cs
        Rx = RD/B
        
      
      
   3. マクスウェル・ブリッジ
      
      • 回路構成
        下図のようなブリッジをマクスウェル・ブリッジと呼びます。
        自己インダクタンスと静電容量を比較するブリッジです。
        
        
        
        
        
      • 動作原理
        平衡条件である、
        Z1・Z4 = Z2・Z3
        
        より、
        RB = (jωLx + Rx)・1/(jωCq + 1/Q)
        RB・(jωCq + 1/Q) = jωLx + Rx
        jωCqRB + RB/Q = jωLx + Rx
        ∴Rx = RB/Q かつ Lx = RB・Cq
        
        以上より未知数Lx、Rxは
        Lx = RB・Cq
        Rx = RB/Q
        
      
      

9. 周波数ブリッジ(ウィーン・ブリッジ)

   1. 回路構成
      下図は周波数ブリッジの一種であるウィーン・ブリッジの回路構成です。
      ブリッジの平衡条件に周波数が入るため、ブリッジを構成する素子の値から
      周波数を求めることが出来ます。
      
      
      
      
      
   2. 動作原理
      平衡条件である、
      Z1・Z4 = Z2・Z3
      
      より、
      R・(F + 1/jωC2) = X・1/(1/R1 + jωC1)
      (F + 1/jωC2)・(1/R1 + jωC1) = X/R
      F/R1 + jωC1・F + 1/jωC2R1 + C1/C2 = X/R
      (F/R1 + C1/C2) + j(ωC1・F - 1/ωC2R1) = X/R
      ∴F/R1 + C1/C2 = X/R かつ ωC1・F - 1/ωC2R1 = 0
      ∴C1/C2 = X/R - F/R1 かつ ω²=1/(C1C2FR1)
      
      ここで、C1=C2、X=2R、F=R1とすれば、
      ω²=1/(C1F)²
      ∴ω=1/(C1F)
      
      fを周波数とすればω=2πfなので
      f = 1/(2πC1・F)
      
      

10. 整流型交流電圧計

    1. 整流型交流電圧計の原理
       整流回路にて交流を直流に変換し、直流電圧計にて測定する構成とした計器です。
       全波整流として下図(b)のように4本のダイオードを使用する方法もありますが、
       ダイオードの順方向電圧の温度係数が測定値の誤差となるため、
       測定電圧が10[V]より小さい場合は、図(a)のようなダイオード2本の構成が
       用いられます。使用周波数は、主にダイオードの特性により決まりますが、
       数MHz以上まで使用可能なようです。
       
       
       
    2. 波形率の計算(全波整流の場合)
       整流型交流電圧計は、交流電圧を直流に変換して測定しますが、
       この時、整流波形は脈流となります。直流電圧計は指示値が平均値
       であるため、実効値を求めるためには波形率をかけて求めます。
       すなわち、波形率とは実効値/平均値のことです。
       この波形率を掛けた値で目盛を振りなおせば交流電圧を直読出来る
       交流電圧計となります。
       なお、波形率は交流波形が正弦波であることが前提となっているため、
       波形が正弦波でないときは測定値に誤差を生じます。
       
       以下、実効値を計算する際の波形率を求めます。
       
       測定する交流電圧の実効値をVr、最大値をVm、瞬時値をv、
       角周波数をωとすれば、
       Vm = √2 * Vr
       v = Vm * sin(ωt)
       　= √2 * Vr * sin(ωt)
       
       
       上図のような全波整流波の場合は平均値をVaとすれば、
       Va = 1/(π/ω) * ∫v dt [積分範囲は0からπ/ωまで]
       　 = (ω/π) * ∫{√2 * Vr * sin(ωt)}dt
       　 = (√2ωVr/π) ∫sin(ωt)dt
       　 = (√2ωVr/π) [-1/ω * cos(ωt)]
       　 = (-√2Vr/π) [cos(ωt)][積分範囲は0からπ/ωまで]
       　 = (-√2Vr/π) (cos(ω*π/ω) - cos0)
       　 = (-√2Vr/π) (cosπ - cos0)
       　 = (-√2Vr/π) (-1 - 1)
       　 = (-√2Vr/π) (-2)
       　 = 2√2Vr/π
       
       ∴Vr = π/(2√2) * Va ≒ 1.11 Va
       すなわち、直流電圧計の読みに対して、1.11倍の値が
       測定した交流電圧の実効値になります。
       
       
    3. 波形率の計算(半波整流の場合)
       
       測定器としては、通常全波整流回路が用いられますが、
       参考にに上図のように半波整流した場合の波形率を以下に求めます。
       
       
       上図のような半波整流波の平均値をVaとすれば、
       Va = 1/(2π/ω) * ∫v dt [積分範囲は0からπ/ωまで]
       　 = (ω/2π) * ∫{√2 * Vr * sin(ωt)}dt
       　 = (√2ωVr/2π) ∫sin(ωt)dt
       　 = (√2ωVr/2π) [-1/ω * cos(ωt)]
       　 = (-√2Vr/2π) [cos(ωt)][積分範囲は0からπ/ωまで]
       　 = (-√2Vr/2π) (cos(ω*π/ω) - cos0)
       　 = (-√2Vr/2π) (cosπ - cos0)
       　 = (-√2Vr/2π) (-1 - 1)
       　 = (-√2Vr/2π) (-2)
       　 = √2Vr/π
       
       ∴Vr = (π/√2) * Va ≒ 2.22 Va
       すなわち、直流電圧計の読みに対して、2.22倍の値が
       測定した交流電圧の実効値になります。
       
       

11. 周波数カウンタ